【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(8)(正方形与角)
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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．
（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．
（2）直接写出：当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形．
【图文解析】
(1)①根据”正方形(是特殊的菱形)的对角线平分一组对角”可得∠ADE=∠CDE，然后利用SAS可证得△ADE≌△CDE，得到∠1＝∠2.如下图示：
②根据“两直线平行（AD∥BC），内错角相等”可得∠1=∠G，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得MC=MG，进一步得到∠G=∠3，且∠1＝∠2（上述①的结论），所以∠2=∠3，因此可得到：∠ECM＝∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠DCG＝900，从而EC⊥MC，如下图示：
(2)如下图示，根据题意，不难得到∠ECG＝∠2+∠DCG＞900，因此若三角形ECG是等腰三角形，只能是CE＝CG，即只能∠G＝∠5这一种情况.
若设∠1＝∠2＝∠G＝∠5＝x0，则在△CEF中，可得到∠6＝∠2+∠5＝2x0，进一步地，得到：（如下图示）
x+2x=90，解得：x=30.
即当∠1＝300时，△ECG为等腰三角形.
【点评】本题考查的知识点丰富的，有一定的综合性，但难度不大，解题思路明确，熟练掌握相关的性质和结论不难得到答案，这恰好也是考试中经常出现的的中档题，同时本题的可拓展空间也较大，尤其是对图形的识图和读图方面的要求。
【拓展与变式1】正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD的延长线于F，交BC于G，M是FG的中点．
(1)画出图形，并证明：①∠DAE=∠DCE；②EC⊥MC．
（2）直接写出：当∠DAE等于多少度时，△ECG为等腰三角形．
【答案】符合条件的图形如下：
(1)思路与例题类似；（2）∠1＝600.
【拓展与变式2】正方形ABCD中，E是BD的延长线上的一点，直线AE交直线CD于F，交CB的延长线于G，M是FG的中点．（图中的∠1为∠DAG.
（1）画出符合条件的图形，并解答下列问题：①找出∠DAG与∠DCE的有关系；②EC与MC的位置关系．
（2）直接写出：当∠DAG等于多少度时，△ECG为等腰三角形．
【答案】符合条件的图形如下：
(1)思路与例题类似；结论∠1+∠2＝1800；（2）∠1＝1500.
【拓展与变式3】正方形ABCD中，E是BD的延长线上的一点，直线AE交直线CD于F，交CB的延长线于G，M是FG的中点．直接写出：当∠BAF＝______度时，△ECG为等腰三角形．
（请先画出符合条件的图形）
【反思】三道拓展题，主要训练识图和画图能力。（试题本身的解答并不难，类似原例题）
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